Annexe G Le cyclotron en équations
Essentiellement le mouvement d'une particule dans un cyclotron
est circulaire. Pour trouver le rayon de la particule en fonction
de ses divers paramètres, on utilise la force de Lorentz
:
F=q·v × B
qui appliquée au cas où v ^ B
donne en grandeur :
F=q· v· B
Par ailleurs, la seconde loi de Newton est toujours
valable :
F=m·a
Et, dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme (MCU), on a :
En conséquence de quoi, on peut écrire :
Ce qui implique :
width
width
Alors, on peut calculer la période de révolution :
en tirant la vitesse de l'équation du rayon.
Cela implique la fréquence de révolution (qui correspond
la fréquence du générateur alternatif)
:
width
width
On constate, et cela est très important, que la fréquence
est indépendante de la vitesse et du rayon :
n¹n(v) et n¹n(r)
Ainsi, il sera possible de faire tourner les particules pour tous
les demi-tours avec la même fréquence du générateur,
malgré l'augmentation de leur vitesse.
On constate aussi que la fréquence dépend du type
de particules et du champ magnétique :
Ainsi, on ne devra utiliser qu'un seul type de particules.
Par ailleurs, les particules sortent du cyclotron
quand le rayon de leur trajectoire r est égal au rayon du cyclotron
R. A ce moment là, la vitesse de sortie du cyclotron
vaut :
en tirant la vitesse de l'expression du rayon et avec r=R.
Ainsi, l'énergie cinétique de la particule vaut :
Ainsi, l'énergie cinétique finale est fonction du
carré du rayon R et du carré du champ magnétique
B. Pour avoir des particules très énergétiques, il faut donc un
grand cyclotron (R grand) et un fort champ
magnétique (B grand).
Enfin, on peut calculer le nombre fois que la particule passe entre
les deux D dans le champ magnétique. En effet, à chaque
passage dans le champ électrique E, on gagne une
énergie qui vaut q· U (voir paragraphe 3.3).
Donc le nombre de passage n dans E vaut :
Et il est facile d'en déduire le nombre de tours effectués par la
particule dans le cyclotron.