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Chapitre 7  MRUA développements

7.1  La position

Pour un MRUA, la position est donnée par :
x=
1
2
· a· t2+vo· t+xo

Démonstration :

Par définition la vitesse moyenne est :
v
=
x-xo
t
 Þ  x=
v
· t+xo

Mais, la vitesse moyenne peut aussi s'exprimer par :
v
=
v+vo
2

Ainsi, on a :
x=
v
· t+vo=
v+vo
2
· t+xo

Or, par définition de l'accélération (constante) :
a
=ao=
v-vo
t
 Þ  v=ao· t+vo

Donc, on a :
x=
v+vo
2
· t+xo=
ao· t+vo+vo
2
+xo

=
1
2
· a· t2+vo· t+xo

C'est ce qu'il fallait démontrer.

7.2  Une autre relation bien pratique

Jusqu'à présent, les relation obtenues (la vitesse et la position) sont fonction du temps. Il est néanmoins pratique dans bien des cas de disposer d'une relation où le facteur temps n'apparaît pas. Cette relation est facilement obtenue en éliminant le temps des deux équations de la vitesse et de la position. Le calcul est le suivant :

on part donc des équations suivantes :
v=ao· t+vo

x=
1
2
· a· t2+vo· t+xo

on tire t de la première équation :
t=
v-vo
ao

et on le remplace dans la seconde :
x=
1
2
· ao·(
v-vo
ao
)2+vo·
v-vo
ao
+xo

=
1
2
· ao·
(v-vo)2
ao2
+vo·
v-vo
ao
+xo

=
1
2
·
v2-2· v· vo+vo2
ao
+
v· vo-vo2
ao
+xo

=
v2-2· v· vo+vo2+2· v· vo-2· vo2
2· ao
+xo

Þ  x=
v2-vo2
2· ao
+xo

Þ  v2=vo2+2· ao·(x-xo)

Cette relation est indépendante du temps t. Elle est canoniquement présentée sous cette forme.


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