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Chapitre 8  Mouvement circulaire uniforme

8.1  Définition

Le mouvement circulaire uniforme (MCU) traduit le déplacement d'un objet sur un cercle et à vitesse constante. Il est intéressant d'étudier ce mouvement qui, tout en se déroulant à vitesse constante, est produit par une accélération non nulle. Il est cependant assez complexe puisque son étude se fait dans le plan (deux dimensions).

8.1.1  Cinématique

La cinématique du mouvement circulaire uniforme est identique à celle du MRU si on remplace les distances par des angles. Ainsi, en guise de position, on prendra l'angle des coordonnées circulaires (voir figure B.1). A partir de là, la vitesse et l'accélération angulaires moyennes se définissent très simplement :
x(t)  ®  q(t)

v
(t)  ®  
w
(t)=
q-qo
t-to
=
Dq
D t

a
(t)  ®  
a
(t)=
w-wo
t-to
=
Dw
D t

Bien entendu, on a aussi pour les grandeurs instantanées :
w(t)=
lim
D t®0
Dq
D t
=
dq
dt

a(t)=
lim
D t®0
Dw
D t
=
dw
dt

Ce définitions sont valables pour tout mouvement circulaire, en particulier s'il n'est pas uniforme. Dans le cas d'un MCU, on a encore : w(t)=wo et a(t)=0  m/s2.



Par ailleurs, la relation liant le rayon d'un arc de cercle à la valeur de ce dernier, relation traduite dans la figure A.1, permet de relier les grandeurs linéaires (x(t),  v(t)) et celles qui sont angulaires (q(t), w(t)) :
L=q· R

implique par dérivation :
dL
dt
=v=w· R=
dq
dt
· R Þ  v=w· R

8.1.2  Relation importante

La complexité de la dynamique de ce mouvement tient dans son caractère bidimensionnel. En d'autres termes, il est nécessaire de tenir compte du caractère vectoriel de la vitesse (voir figure : 8.1)


Figure 8.1 : Mouvement circulaire uniforme


Ainsi, la rotation du vecteur vitesse ``produit'' un vecteur Dv. Or, par définition de l'accélération :
a=
Dv
D t

si Dv est non nul, alors il y a accélération. Sur la figure on voit aussi que la direction de Dv, comme celle de l'accélération a, est radiale et plus précisément dans le sens du centre du cercle.

Le mouvement circulaire uniforme est donc particulier en ce sens que tout en se déroulant à vitesse (scalaire) constante, il se déroule avec une accélération non nulle, mais qui est perpendiculaire à la vitesse.

De plus, on montre que la valeur de l'accélération est :
a=
v2
R

où v est la vitesse scalaire et R le rayon du cercle.

En effet, selon la figure 8.1, on a :
D x=a· R et D v=a· v

D x est la longueur de l'arc de cercle entre les deux instants où on considère la vitesse. Si D t est le temps entre ces deux instants, on peut écrire :
a=
D v
D t
=
a· v
D t
=
v
R
·
D x
D t
=
v
R
· v=
v2
R

C'est ce qu'il fallait démontrer.

8.1.3  Dynamique

Si on comprend que le MCU est un mouvement à vitesse constante, mais à accélération non nulle, on peut immédiatement saisir la présence d'une force. Celle-ci est naturellement dans la même direction et le même sens que l'accélération. En effet, cela découle de la seconde loi de Newton : F=m·a et du fait que la masse est toujours positive. Cette accélération, nommée centripète (et non centrifuge), est donc créée par une force (nommée aussi centripète) qui dévie l'objet de sa trajectoire rectiligne. Cela est parfaitement compatible avec la première loi de Newton, puisque la cause de la trajectoire circulaire est bien une force.


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